Written by: Posted on: 07.08.2014

Алгебра логики в задачах с. г. гиндикин

У нас вы можете скачать книгу алгебра логики в задачах с. г. гиндикин в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Всё равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь… На пути к истине мы почти всегда обречены совершать ошибки. Слава богу, теория чисел не запятнана никакими приложениями.

Математика — это орудие, специально приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлечёнными понятиями любого вида, и в этой области нет предела её могуществу. По этой причине книга о современной физике, если она не сводится к простому описанию экспериментальной работы, должна быть по существу математической. Оказывается, одна из основных особенностей природы заключается в том, что законы фундаментальной физики описываются очень изящными и мощными математическими теориями. Для понимания этих теорий нужно быть математиком высокого уровня.

Единственное, что можно ответить на современном уровне знаний — Природа таким образом сконструирована. Остаётся только принять это. Другими словами, Бог — математик очень высокого уровня и Он использовал самую совершенную математику при создании Вселенной. Наши слабенькие математические усилия позволяют нам понять устройство лишь маленького кусочка Вселенной, и по мере дальнейшего развития математики мы надеемся понять устройство Вселенной лучше.

Расхождения вполне могут быть вызваны какими-то вторичными эффектами, которые прояснятся позже. Его выводы будут безошибочны, как теоремы Евклида. Числа — это обязательное орудие современной цивилизации, которое используется для упорядочения сферы её деятельности.

Математика является меньше знанием, чем умением. Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой. В ответ египетскому царю Птолемею I, просившему указать ему более легкий путь изучения геометрии: Точка есть то, что не имеет частей. Линия же — длина без ширины. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней. Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым. В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления.

Можно было бы спросить, для чего нужны эти невозможные решения комплексные корни. Я отвечу — по трём причинам: В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. Более того, так же как математика может быть использована для анализа живописи, последняя в свою очередь рисование, черчение, в частности очевидно полезна в математических исследованиях, причем далеко не только в геометрии.

Математику и живопись в этой связи можно рассматривать просто как два различных, взаимодополняющих способа визуализации конкретной или абстрактной реальности, в которой мы существуем.

Кого не привлекает ни красота, ни искусство, кто живет убогой духовной жизнью — тот ничего не даст и математике. Поэзия не отличается от математики высшим полетом воображения, а математик отличается от поэта только тем, что все и везде понимает Но как и в искусстве, так и в математике только произведения, отличающиеся красотой, переживают столетия и воспитывают поколения.

Математический талант — сложная вещь. Разумеется, математические способности его необходимый ингредиент. Математические способности встречаются чаще, чем обычно полагают. Однако, математика, как и наука вообще, трудна и чтобы добиться в ней чего-либо стоящего, нужно жить ею, нужна страстность. Математика — заклятый враг зубрёжки. Математика — самый короткий путь к самостоятельному мышлению. Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность.

Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики. Так как во всяком учении о природе имеется науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в ней априорного познания, то учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена в нем математика.

Математика — это наука, брошенная человечеством на исследование мира в его возможных вариантах. Не пора ли всех математиков числить по разделу "спорт", как шахматистов?

Математика нужна для изучения многих наук, но сама она не нуждается ни в какой науке. С помощью цифр доказать можно все что угодно. Известна теория, много раз доказанная практикой, что сколь бы большое число людей уже не находилось в вагоне, всегда может войти еще один человек.

Сначала одной ногой, потом двумя ногами, с курткой, зажатой между дверями, но войдет. То есть метод математической индукции неумолимо доказывает: Используйте закон больших чисел для изгнания беспокойства из вашей жизни.

Прежде чем выступать, Линкольн с математической точностью обдумывал свои выводы. Когда ему было сорок лет, и он был уже членом конгресса, он изучал Евклида, чтобы иметь возможность выявлять софизмы и доказывать свои выводы.

Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, — это быть точным, второе — быть ясным и, насколько можно, простым. Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств. Математика есть прообраз красоты мира. Главной целью всех исследований внешнего мира должно быть открытие рационального порядка и гармонии, которые бог ниспослал миру и открыл нам на языке математики.

Тяжкий жребий — писать в наши дни математические книги Если не соблюдать надлежащей строгости в формулировках теорем, пояснениях, доказательствах и следствиях, то книгу нельзя считать математической. Если неукоснительно соблюдать все требования строгости, то чтение книги становится весьма затруднительным. Геометрия имеет два сокровища: Первое из них можно сравнить с мерой золота, а второе похоже на драгоценный камень.

Доказательство называется строгим, если таковым его считает большинство математиков. Но математика способна достичь всех этих целей. В глазах непосвященного математические символы словно вражеские штандарты, развивающиеся над, казалось бы, неприступной цитаделью. За страсть к специализации математика платит бесплодием.

Математика должна прочно стоять на земле и уходить головой в облака. Подлинную, живую, содержательную математику рождает сочетание абстракции и конкретных проблем. Математики могут воспарять в облака абстрактного мышления, но, подобно птицам, за пищей должны возвращаться на землю.

Чистую математику можно сравнить с тортом, подаваемым на десерт. Как ни парадоксально, но именно абстракции, столь далекие от реальности, позволяют достичь столь многого.

Возможно, что искусственное математическое описание не более чем сказка для взрослых, но сказка с моралью: За успехи математики заплачено определенной ценой, и эта цена — количественный подход к миру: В лучшем случае математика описывает некоторые явления природы, но математические символы передают далеко не все. Математика по-прежнему остаётся эталоном самого надёжного и точного знания, которого мы только в состоянии достичь.

Альфред Норт Уайтхед некогда сказал: Вполне возможно — но, несомненно, ниспосланное богами. Математика не только уточнила и расширила наше знание явлений, доступных органам чувств человека, но и позволила открыть весьма важные явления, не воспринимаемые нами, но оттого не менее реальные по их воздействию, чем прикосновение к раскаленной плите. Всякий знает, что такое кривая, пока не выучится математике настолько, что вконец запутается в бесконечных исключениях.

Математика в наши дни напоминает крупное оружейное производство в мирное время. Витрина заполнена образцами, которые своим остроумием, искусным и пленяющим глаз выполнением восхищают знатока.

Собственно происхождение и назначение этих вещей, их способность стрелять и поражать врага отходят в сознании людей на задний план и даже совершенно забываются. Математика является вполне живой наукой, которая беспрестанно включает в себя всё новые проблемы, обрабатывает их, отбрасывает устаревшие, и, таким образом, она всё вновь и вновь омолаживается. Чтобы успешно парировать придирки, геометрия должна, подобно логике, опираться на формальные рассуждения. Математические формулы не могут "принадлежать" кому-либо!

Многие, которым никогда не представлялось случая более глубоко узнать математику, смешивают её с арифметикой и считают наукой сухой. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии, и один из первых математиков нашего столетия говорит совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи в то же время поэтом в душе.

Без знания математики нельзя понять основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления. Математическая интуиция часто руководствуется представлениями о красоте.

Решение хорошо поставленной, естественной задачи обычно оказывается красивым. Конечно, не каждая красиво выглядящая гипотеза оправдывается. Но искать подлинное решение проблемы часто бывает разумным среди предположений, выделяющихся своей красотой. В основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея: Нужно только надлежащим образом применить эту простую идею к решению задачи, которая с первого взгляда кажется недоступной.

Математика — это то, посредством чего люди управляют природой и собой. В каждый данный момент существует лишь тонкий слой между "тривиальным" и недоступным. В этом слое и делаются математические открытия. Заказная прикладная задача поэтому в большинстве случаев или решается тривиально, или вообще не решается Вряд ли нужно доказывать, насколько желательно с общебразовательной точки зрения достигнуть того, чтобы все учащиеся могли вполне конкретно понять хотя бы ньютоновскую концепцию математического естествознания.

Для несведущих в математике сокрыты многие тайны вещей. Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым. Нет никакого сомнения в том, что единственный способ, который с успехом может применяться в естественных науках, состоит в наблюдении фактов и в подчинении наблюдений вычислениям.

Но было бы большим заблуждением допустить, что достоверность заключается только в геометрических доказательствах и в указаниях наших чувств Будем поэтому усердно разрабатывать математические науки, не стремясь распространить их значения за естественные пределы, не будем увлекаться решением исторических вопросов посредством формул и искать нравственных оснований в теоремах алгебры или интегрального исчисления.

Разумеется, хорошая математика всегда красива. Не опускайте рук, займитесь математикой, и вы прозреете душою Помните, хотите научиться плавать, смелее входите в воду. Хотите научиться математике, беритесь за задачи. Каждое решение является своеобразным искусством поиска. Часто мы слышим, что математика — наука сухая, абстрактная. Может для кого-то это и так. Но только не для инженера! Нет в мире машин, которые шли не от математики, нет полнокровной жизни создателя техники без этой науки Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя применить математику.

Этим-то она, математика, для вас должно стать душевной потребностью, если хотите, хлебом и песней. Что такое математика вообще? Ответить на это нелегко. Тысячелетиями существует эта наука, люди изучают ее, развивают, а что такое математика, так до сих пор никто точно не определил. Как никто не сказал, что такое музыка.

Разве можно понять, оценить ее, не почувствовав ее, не почувствовав ритма, гармонии, порядка? Разве можно оценить произведение художника, не испытывая формы, цвета, композиции?

Так и в математике. Чтобы понять ее, добраться до сути, надо глубже проникнуть в отдельные элементы. Логика — это искусство ошибаться с уверенностью в своей правоте. Господь сотворил целые числа; остальное — дело рук человека.

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. Геометр создает методы решения не только тех вопросов, которые возникают в результате современных потребностей, но и для будущих, которые возникнут, возможно, завтра, возможно, — через тысячу лет.

Уиллард Ван Орман Куайн. Неопровержимость — имя твое, математика. Математика лучше всего помогает нам в понимании разнообразных божественных истин. Твой ум без числа ничего не достигнет. Если вы собираетесь изучать математику, вы должны научиться чувствовать себя комфортно, когда чего-то не понимаете.

Некоторые математики мыслят абстракциями; математические идеи нуждаются в прогрессирующем абстрактном рафинировании, аксиоматизации, кристаллизации Однако основные трудности в математике исчезают, если учесть, что математические понятия являются описанием некоторой вещественной реальности. Жизненные соки нашей науки поступают в неё из корней; эти корни уходят своими бесчисленными разветвлениями в то, что можно назвать реальностью, то есть в механику, физику, биологические формы, экономическое поведение, геодезию Абстракция и обобщения не более жизненны для математики, чем индивидуальность феномена и, прежде всего, чем индуктивность интуиции.

Только взаимодействие между этими силами и их синтез может сохранить математику живой и не дать ей превратиться в высохший скелет Греки ценили ясность, порядок и точность. И в геометрии они, как правило, основывали свои построения на том же идеале красоты и гармонии, которого так строго придерживались в изобразительном искусстве. Математика — это большая выдумка без обмана! Пока алгебра и геометрия развивались врозь, их прогресс был медленным, применение — ограниченным; когда же эти две науки были соединены, они стали помогать друг другу и быстро шагать к совершенству.

Математические науки, естественные науки и гуманитарные науки могут быть названы, соответственно, науками сверхъестественными, естественными и неестественными. Произведение оптимизма на знание — величина постоянная.

Высшим достижением человеческого гения является то, что человек может понять вещи, которые он уже не может вообразить. Мысль выражать числа десятью знаками… настолько простая, что… трудно понять, насколько она удивительна. По моему мнению, математику, постольку, поскольку он является математиком, не следует поглощать внимание философией; более того, это мнение выражали многие философы.

Измерение величин является отправным пунктом всех применений математики. Ни одно открытие не было сделано в математике с помощью усилий дедуктивной логики; они являются результатом творческого воображения, которое подсказывает, что кажется истинным, ведёт иногда путём аналогий, иногда благодаря эстетическому идеалу, но не основано на твёрдом логическом фундаменте.

Лишь когда открытие сделано, вмешивается логика для проведения контроля; она окончательно удостоверяет, истинно или иллюзорно открытие; её роль, таким образом, лишь вспомогательная. Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть — и далее подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели.

Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что сочетание бытия с небытием. Комплексные числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытиём. Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не подозревая.

Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы. Геометрам нередко удаётся несколькими словами выразить то, что требует громоздких рассуждений в анализе. Математическая истина сама по себе не является ни простой, ни сложной, она существует.

Математик, отмечают рационалисты, мог бы, как и раньше, умножать богатства своей науки, даже если материальный мир вдруг исчез. Да, бесспорно, если бы он исчез теперь; но мог бы он создать математику, если бы материальный мир никогда не существовал? Удачная математическая шутка лучше, чем дюжина заурядных работ; она является одновременно и лучшей математикой.

Математика — это язык, на котором говорят все точные науки. Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. Математике должно учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни. Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира.

Кажется, трудность понятий увеличивается по мере их приближения к начальным истинам в природе: Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным — не должно верить.

Ничего не может быть простее того понятия, которое служит основанием Арифметике. Мы познаем легко, что все в природе подлежит измерению, все может быть сосчитано. У каждого свой исходный постулат, на котором построена его геометрия жизни.

Нужно только пристальнее приглядеться к человеку, определить этот исходный постулат и тогда всё станет ясно, все поступки окажутся логически обоснованными. Можно даже наперёд предсказать, как поступит тот или иной человек.

Математику уже затем знать надо, что она ум в порядок приводит. Геометрия — правительница всех мысленных изысканий. Химия — правая рука физики, математика — ее глаз. Слеп физик без математики. Все, что до этого было в науках: Стремящийся к ближайшему изучению химии должен быть сведущ и в математике.

Когда я понял, что сумма углов треугольника равняется двум прямым углам, я почувствовал в этом нечто своё, личное, бесконечно родное, чего уже никто у меня не отнимет. И среди многочисленных волнений жизни и мысли я нашёл в этом приют. Геометрия, если я её изучил и понял, моя - родная и близкая, всегда ласковая и всегда приютная наука. Математик изучает свою науку вовсе не потому, что она полезна.

Он изучает её потому, что она прекрасна. Бесконечность — пучина, в которой тонут наши мысли. Таким образом можно сказать, что число управляет всем миром количественного, а четыре правила арифметики можно рассматривать как полное снаряжение математика. Математика есть часть культуры в широком смысле слова, а не промышленности или чего-то в этом роде. Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели.

Вам надо копать глубоко, в самую суть самого себя, чтобы заниматься таким трудным делом, как математические исследования. Вам надо верить, что вы владеете сокровищем, спрятанным в самой глубине вашего мозга, сокровищем, которое необходимо явить миру.

Прогресс математической науки — это коллективное предприятие. Математика — это открытие неких умозрительных сущностей и способов оперирования с ними. Многие считают, что ценность их в приложениях; это важно, но главная их ценность — в развитии человеческого интеллекта.

Это залог человеческой эволюции. Причины стремительной "математизации" современного мира, конечно, легче будет установить будущим историкам науки, чем нам, ее современникам. Однако уже теперь можно сказать, что главная из них состоит не только и не столько в конкретных успехах математики за последние годы, сколько в осознании беспредельных возможностей ее использования и в появлении "острого спроса" на это использование в прикладном диапазоне.

Модель — это основная форма, при помощи которой математика связана с внешним миром. Математика — это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика — орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей. Знание математики в наибольшей мере содействует развитию логического мышления умению рассуждать, анализировать, абстрагировать, схематизировать, обобщать и так далее , оно содействует выработке рациональных качеств мысли и ее выражения точность, ясность, сжатость , развитию наблюдательности и внимания, интуиции, способности сосредоточиваться, настойчивости, привычки к упорядоченности.

Поэтому математика и присущий ей стиль мышления несомненно должны рассматриваться как существенный элемент общей культуры современного человека. С одной стороны, математика — совершенно абстрактная наука: Значит, это просто один из способов смотреть на мир, который объединяет в себе все силы: Функции, как и живые существа, характеризуются своими особенностями.

Легче найти квадратуру круга, чем перехитрить математика. Любая наука, включая логику и математику, есть продукт своей эпохи. Наука воплощена в своих идеалах не в меньшей мере, чем в результатах.

Для современного физика математика всё равно, что абсолютный слух для композитора. Процветание и совершенство математики тесно связаны с благосостоянием государства. Математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается всё, что человечество создало в области науки и искусства.

Если люди отказываются верить в простоту математики, то это только потому, что они не понимают всю сложность жизни.

Всякий, кто питает слабость к арифметическим методам получения случайных чисел, грешен вне всяких сомнений. В математике не усваивают понятий, а привыкают к ним. Математические идеи возникают из опыта, хотя их генеалогия порой оказывается длинной и тёмной.

Но после того как они сформировались, они начинают жить своеобразной собственной жизнью. При этом предмет математики можно сравнить скорее с творческой дисциплиной, подлежащей почти исключительно эстетическим обоснованиям, но, ни в коем случае, не с эмпирической наукой Так как математическая дисциплина далеко уходит от своих эмпирических истоков, её подстерегают очень серьёзные опасности. Она становится всё более эстетической, всё более приближается к чистому искусству для искусства.

Всё это не так страшно, если данная область окружена взаимозависимыми структурами, обладающими более тесными эмпирическими связями, или если на эту дисциплину оказывают влияние люди с исключительно хорошо развитым вкусом. Однако существует серьёзная опасность, что данный предмет в процессе своего развития вступит на путь наименьшего сопротивления, что поток, столь далеко унёсшийся от своего источника, разольётся на множество мелких ручьёв и превратится в беспорядочное множество запутанных частностей.

Сначала, как правило, имеет место классический стиль. Однако, как только появляются признаки барокко, промедление становится опасным Если мы достигли этого этапа, единственное лекарство — это возвращение к истокам, то есть новое приближение к более или менее явно эмпирическим идеям.

Я уверен, что в прошлом это было необходимым условием сохранения свежести и жизненной силы математики и что, то же ожидает нас в будущем.

Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед! Мы хотим внести тонкость и строгость математики во все науки, поскольку это вообще возможно; мы желаем этого не потому, что рассчитываем таким путём познавать вещи, но для того, чтобы установить этим наше человеческое отношение к вещам. Математика есть лишь средство общего и высшего человековедения. Искусство решать геометрические задачи чем-то напоминает трюки иллюзионистов - иногда, даже зная решение задачи, трудно понять, как можно было до него додуматься.

В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми малыми ошибками. Так как древние… придавали большое значение механике при изучении природы, то новейшие авторы, отбросив субстанции и скрытые свойства, стараются подчинить законы природы законам математики. Чтобы сотворить эту Солнечную систему со всеми её движениями, потребовалась причина, понимавшая и сравнившая количества материи,… расстояния,…скорости… И то, что сравнить и согласовать это удалось в столь многих телах, свидетельствует, что причина эта была не слепой или случайной, а весьма искусной в механике и геометрии.

Геометрия основывается на механической практике и есть не что иное, как та часть общей механики, в которой излагается и доказывается искусство точного измерения. Алгебра — это анализ для неумех в математике. Минус на минус — всегда только плюс. Отчего так бывает, сказать не берусь. Самая главная радость в математике — осознание человеком какой-то глубины, когда перехватывает дух от нее. Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое.

Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательным. Математическая истина, независимо от того, в Париже или в Тулузе, одна и та же. Величие человека — в его способности мыслить. Среди равных разумов — при других равных условиях — преимущество имеет тот, кто знает геометрию. Счет и вычисления — основа порядка в голове. Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива.

Если бы Ньютон и Лейбниц знали, что непрерывные функции необязательно должны иметь производные, то дифференциальное исчисление никогда не было бы создано. Понятие бесконечности — наш величайший друг; оно также величайший враг покоя нашей мысли Вейерштрасс научил нас верить, что мы, наконец, полностью приручили и одомашнили эту неуправляемую стихию. Однако это не так: Гильберт и Брауэр ещё раз занялись её усмирением.

Математик, оперируя множеством символов, явно имея дело с чисто формальными истинами, тем не менее может достичь бесконечно важных результатов для описания физического мира. Математика есть лучшее и даже единственное введение в изучение природы. Все упорядочивается согласно чисел. Новая научная истина побеждает не потому, что её противники убеждаются в её правильности и прозревают, а лишь по той причине, что противники постепенно вымирают, а новое поколение усваивает эту истину буквально с молоком матери.

Человек — это мудрейшее животное, потому, что он умеет считать. Математика — это язык, которым с людьми разговаривают боги. Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе? Мы никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы. Было бы хорошо, если бы эти знания требовало само государство и если бы лиц, занимающих высшие государственные должности, приучали заниматься математикой и в нужных случаях к ней обращаться.

Изучение математики приближает к бессмертным богам. Знание, к которому стремятся геометры, есть знание вечного, а не того, что тленно и преходяще. Разве ты не знаешь, что, хотя геометры используют видимые формы и рассуждают о них, мыслят они не о самих формах, а об идеалах, с которыми не имеют сходства; не о фигурах, которые они чертят, а об абсолютном квадрате и об абсолютном диаметре… и что в действительности геометры стремятся постичь то, что открыто лишь мысленному взору?

Высшая гармония одарённого воображением интеллекта всегда наделена преимущественно математическим характером. В школе [есть] два главных предмета — родная речь и геометрия.

Одна учит человека грамотно излагать мысли, вторая — дедуктивному мышлению. Лучший способ изучить что-либо — это открыть самому. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их! Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: При решении задачи плохой план часто оказывается полезным: Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать на лыжах.

Ему можно научиться только путём подражания или упражнения. Возможно, не существует открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни даже, пожалуй, в любой другой области, которые могли бы быть сделаны… без аналогии.

Нужно всеми средствами обучать искусству доказывать, не забывая при этом и об искусстве догадываться. Математика интересна тогда, когда питает нашу изобретательность и способность рассуждать.

Должно быть дважды два — четыре? Существуют три уровня понимания доказательства. Средний уровень достигается, когда вы можете воспроизвести доказательство. На верхнем, или высшем, уровне вы обретаете способность опровергнуть доказательство. Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу — это значит пережить приключение.

У народов, которые владеют геометрией, даже самые простые вещи имеют какую-то особую красоту. Ни одна наука, существующая для того, чтобы облегчить или украсить жизнь, без геометрии не могла бы не только развиваться и усовершенствоваться, но даже и появиться.

В математике нет символов для неясных мыслей. Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем. Если кто-либо хочет кратким и выразительным словом определить само существо математики, тот должен сказать, что это наука о бесконечности. Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук. Без интуиции молодой ум не сможет продвинуться в понимании математики, он не сможет полюбить её и найдёт в ней лишь пустой набор логических упражнений, и прежде всего без интуиции он никогда не сможет применять математику.

Истинные математические науки, то есть те, которые чему-нибудь служат, могут продолжать своё развитие только согласно свойственным им принципам, не заботясь о тех бурях, которые бушуют вне их; они будут шаг за шагом делать свои завоевания, которые являются окончательными и от которых им никогда не будет нужды отказываться. Нужно было бы окончательно забыть историю науки, чтобы не помнить, что стремление познать природу имело самое постоянное и самое счастливое влияние на развитие математики… Если бы чистый математик забыл о существовании внешнего мира, то он уподобился бы художнику, который умеет гармонически сочетать краски, но у которого нет моделей.

Его творческая сила скоро иссякла бы. Чистый математик, который забыл бы о существовании внешнего мира, был бы подобен живописцу, умеющему гармонически сочетать цвета и формы, но лишённому натуры, модели — его творческая сила быстро бы иссякла.

В её строго логической форме математическая дисциплина принимает столь искусственный характер, что ставит в тупик любого. Забываются исторические истоки, мы видим, как вопросы могут быть разрешены, но перестаём понимать, как и почему они были поставлены. Не существует решённых проблем, существуют только проблемы более или менее решённые.

Математики не уничтожают препятствия, мешающие им, но просто отодвигают их за грани своей науки. Жизнь украшается двумя вещами: Геометрические свойства кривых второго порядка. Теорема Абеля в задачах и решениях. Алгебра и теория чисел для математических школ. Взгляд на математику и нечто из нее. Градуированные алгебры и я проблема Гильберта. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. Группы Эйлера и арифметика геометрических прогрессий. Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа.

Задачи для детей от 5 до 15 лет. Математическое понимание природы c2 М.: Нужна ли в школе математика? Лекции по теоретической физике. Проблемы Гильберта лет спустя.

Уравнения Максвелла и дифференциальные формы. О проективных пространствах и движениях. Под общей редакцией В. Колмогоровская сложность и алгоритмическая случайность c1 М.: МЦНМО, , с. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Системы счисления и их применение. Центры тяжести и геометрия. Лекции по линейной алгебре. Избранные задачи интегральной геометрии. Шилов Обобщенные функции и действия над ними.

Курс математической логики и теории вычислимости. В молодые годы автобиографические записки c2 М.: Введение в современную логику. В языках программирования импликация используется, как правило, неявно. Например, конструкция, предполагающая истинность условия B в данном участке программы:.

В то же время эти условия можно спокойно написать в одной строке, объединив их оператором конъюнкции. В функциональных языках импликация может быть не только правилом вычислений, но и видом отношения между данными, то есть обрабатываться в том числе и выполняться и создаваться по ходу выполнения программы.

Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел. Эта отметка установлена 30 ноября года. Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его. В данной статье имеется список источников или внешних ссылок , но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок.

Утверждения, не подкреплённые источниками , могут быть поставлены под сомнение и удалены.

About the Author: Твердислав