Written by: Posted on: 21.04.2015

Философия логики у. в. о. куайн

У нас вы можете скачать книгу философия логики у. в. о. куайн в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть — и далее подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели. Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что сочетание бытия с небытием.

Комплексные числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытиём. Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не подозревая. Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы.

Геометрам нередко удаётся несколькими словами выразить то, что требует громоздких рассуждений в анализе. Математическая истина сама по себе не является ни простой, ни сложной, она существует. Математик, отмечают рационалисты, мог бы, как и раньше, умножать богатства своей науки, даже если материальный мир вдруг исчез.

Да, бесспорно, если бы он исчез теперь; но мог бы он создать математику, если бы материальный мир никогда не существовал? Удачная математическая шутка лучше, чем дюжина заурядных работ; она является одновременно и лучшей математикой. Математика — это язык, на котором говорят все точные науки.

Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. Математике должно учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни. Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира. Кажется, трудность понятий увеличивается по мере их приближения к начальным истинам в природе: Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу.

Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным — не должно верить. Ничего не может быть простее того понятия, которое служит основанием Арифметике. Мы познаем легко, что все в природе подлежит измерению, все может быть сосчитано. У каждого свой исходный постулат, на котором построена его геометрия жизни. Нужно только пристальнее приглядеться к человеку, определить этот исходный постулат и тогда всё станет ясно, все поступки окажутся логически обоснованными.

Можно даже наперёд предсказать, как поступит тот или иной человек. Математику уже затем знать надо, что она ум в порядок приводит. Геометрия — правительница всех мысленных изысканий. Химия — правая рука физики, математика — ее глаз.

Слеп физик без математики. Все, что до этого было в науках: Стремящийся к ближайшему изучению химии должен быть сведущ и в математике. Когда я понял, что сумма углов треугольника равняется двум прямым углам, я почувствовал в этом нечто своё, личное, бесконечно родное, чего уже никто у меня не отнимет.

И среди многочисленных волнений жизни и мысли я нашёл в этом приют. Геометрия, если я её изучил и понял, моя - родная и близкая, всегда ласковая и всегда приютная наука.

Математик изучает свою науку вовсе не потому, что она полезна. Он изучает её потому, что она прекрасна. Бесконечность — пучина, в которой тонут наши мысли. Таким образом можно сказать, что число управляет всем миром количественного, а четыре правила арифметики можно рассматривать как полное снаряжение математика. Математика есть часть культуры в широком смысле слова, а не промышленности или чего-то в этом роде.

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели. Вам надо копать глубоко, в самую суть самого себя, чтобы заниматься таким трудным делом, как математические исследования. Вам надо верить, что вы владеете сокровищем, спрятанным в самой глубине вашего мозга, сокровищем, которое необходимо явить миру.

Прогресс математической науки — это коллективное предприятие. Математика — это открытие неких умозрительных сущностей и способов оперирования с ними. Многие считают, что ценность их в приложениях; это важно, но главная их ценность — в развитии человеческого интеллекта. Это залог человеческой эволюции. Причины стремительной "математизации" современного мира, конечно, легче будет установить будущим историкам науки, чем нам, ее современникам. Однако уже теперь можно сказать, что главная из них состоит не только и не столько в конкретных успехах математики за последние годы, сколько в осознании беспредельных возможностей ее использования и в появлении "острого спроса" на это использование в прикладном диапазоне.

Модель — это основная форма, при помощи которой математика связана с внешним миром. Математика — это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика — орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей.

Знание математики в наибольшей мере содействует развитию логического мышления умению рассуждать, анализировать, абстрагировать, схематизировать, обобщать и так далее , оно содействует выработке рациональных качеств мысли и ее выражения точность, ясность, сжатость , развитию наблюдательности и внимания, интуиции, способности сосредоточиваться, настойчивости, привычки к упорядоченности. Поэтому математика и присущий ей стиль мышления несомненно должны рассматриваться как существенный элемент общей культуры современного человека.

С одной стороны, математика — совершенно абстрактная наука: Значит, это просто один из способов смотреть на мир, который объединяет в себе все силы: Функции, как и живые существа, характеризуются своими особенностями. Легче найти квадратуру круга, чем перехитрить математика. Любая наука, включая логику и математику, есть продукт своей эпохи. Наука воплощена в своих идеалах не в меньшей мере, чем в результатах. Для современного физика математика всё равно, что абсолютный слух для композитора.

Процветание и совершенство математики тесно связаны с благосостоянием государства. Математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается всё, что человечество создало в области науки и искусства.

Если люди отказываются верить в простоту математики, то это только потому, что они не понимают всю сложность жизни. Всякий, кто питает слабость к арифметическим методам получения случайных чисел, грешен вне всяких сомнений.

В математике не усваивают понятий, а привыкают к ним. Математические идеи возникают из опыта, хотя их генеалогия порой оказывается длинной и тёмной. Но после того как они сформировались, они начинают жить своеобразной собственной жизнью. При этом предмет математики можно сравнить скорее с творческой дисциплиной, подлежащей почти исключительно эстетическим обоснованиям, но, ни в коем случае, не с эмпирической наукой Так как математическая дисциплина далеко уходит от своих эмпирических истоков, её подстерегают очень серьёзные опасности.

Она становится всё более эстетической, всё более приближается к чистому искусству для искусства. Всё это не так страшно, если данная область окружена взаимозависимыми структурами, обладающими более тесными эмпирическими связями, или если на эту дисциплину оказывают влияние люди с исключительно хорошо развитым вкусом.

Однако существует серьёзная опасность, что данный предмет в процессе своего развития вступит на путь наименьшего сопротивления, что поток, столь далеко унёсшийся от своего источника, разольётся на множество мелких ручьёв и превратится в беспорядочное множество запутанных частностей. Сначала, как правило, имеет место классический стиль. Однако, как только появляются признаки барокко, промедление становится опасным Если мы достигли этого этапа, единственное лекарство — это возвращение к истокам, то есть новое приближение к более или менее явно эмпирическим идеям.

Я уверен, что в прошлом это было необходимым условием сохранения свежести и жизненной силы математики и что, то же ожидает нас в будущем. Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед! Мы хотим внести тонкость и строгость математики во все науки, поскольку это вообще возможно; мы желаем этого не потому, что рассчитываем таким путём познавать вещи, но для того, чтобы установить этим наше человеческое отношение к вещам.

Математика есть лишь средство общего и высшего человековедения. Искусство решать геометрические задачи чем-то напоминает трюки иллюзионистов - иногда, даже зная решение задачи, трудно понять, как можно было до него додуматься. В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми малыми ошибками. Так как древние… придавали большое значение механике при изучении природы, то новейшие авторы, отбросив субстанции и скрытые свойства, стараются подчинить законы природы законам математики.

Чтобы сотворить эту Солнечную систему со всеми её движениями, потребовалась причина, понимавшая и сравнившая количества материи,… расстояния,…скорости… И то, что сравнить и согласовать это удалось в столь многих телах, свидетельствует, что причина эта была не слепой или случайной, а весьма искусной в механике и геометрии.

Геометрия основывается на механической практике и есть не что иное, как та часть общей механики, в которой излагается и доказывается искусство точного измерения. Алгебра — это анализ для неумех в математике. Минус на минус — всегда только плюс. Отчего так бывает, сказать не берусь.

Самая главная радость в математике — осознание человеком какой-то глубины, когда перехватывает дух от нее. Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое.

Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательным. Математическая истина, независимо от того, в Париже или в Тулузе, одна и та же.

Величие человека — в его способности мыслить. Среди равных разумов — при других равных условиях — преимущество имеет тот, кто знает геометрию. Счет и вычисления — основа порядка в голове. Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива. Если бы Ньютон и Лейбниц знали, что непрерывные функции необязательно должны иметь производные, то дифференциальное исчисление никогда не было бы создано.

Понятие бесконечности — наш величайший друг; оно также величайший враг покоя нашей мысли Вейерштрасс научил нас верить, что мы, наконец, полностью приручили и одомашнили эту неуправляемую стихию. Однако это не так: Гильберт и Брауэр ещё раз занялись её усмирением.

Математик, оперируя множеством символов, явно имея дело с чисто формальными истинами, тем не менее может достичь бесконечно важных результатов для описания физического мира. Математика есть лучшее и даже единственное введение в изучение природы. Все упорядочивается согласно чисел. Новая научная истина побеждает не потому, что её противники убеждаются в её правильности и прозревают, а лишь по той причине, что противники постепенно вымирают, а новое поколение усваивает эту истину буквально с молоком матери.

Человек — это мудрейшее животное, потому, что он умеет считать. Математика — это язык, которым с людьми разговаривают боги. Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе? Мы никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы. Было бы хорошо, если бы эти знания требовало само государство и если бы лиц, занимающих высшие государственные должности, приучали заниматься математикой и в нужных случаях к ней обращаться.

Изучение математики приближает к бессмертным богам. Знание, к которому стремятся геометры, есть знание вечного, а не того, что тленно и преходяще. Разве ты не знаешь, что, хотя геометры используют видимые формы и рассуждают о них, мыслят они не о самих формах, а об идеалах, с которыми не имеют сходства; не о фигурах, которые они чертят, а об абсолютном квадрате и об абсолютном диаметре… и что в действительности геометры стремятся постичь то, что открыто лишь мысленному взору?

Высшая гармония одарённого воображением интеллекта всегда наделена преимущественно математическим характером. В школе [есть] два главных предмета — родная речь и геометрия. Одна учит человека грамотно излагать мысли, вторая — дедуктивному мышлению. Лучший способ изучить что-либо — это открыть самому. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!

Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: При решении задачи плохой план часто оказывается полезным: Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать на лыжах. Ему можно научиться только путём подражания или упражнения. Возможно, не существует открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни даже, пожалуй, в любой другой области, которые могли бы быть сделаны… без аналогии. Нужно всеми средствами обучать искусству доказывать, не забывая при этом и об искусстве догадываться.

Математика интересна тогда, когда питает нашу изобретательность и способность рассуждать. Должно быть дважды два — четыре? Существуют три уровня понимания доказательства.

Средний уровень достигается, когда вы можете воспроизвести доказательство. На верхнем, или высшем, уровне вы обретаете способность опровергнуть доказательство. Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу — это значит пережить приключение. У народов, которые владеют геометрией, даже самые простые вещи имеют какую-то особую красоту.

Ни одна наука, существующая для того, чтобы облегчить или украсить жизнь, без геометрии не могла бы не только развиваться и усовершенствоваться, но даже и появиться. В математике нет символов для неясных мыслей. Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем. Если кто-либо хочет кратким и выразительным словом определить само существо математики, тот должен сказать, что это наука о бесконечности.

Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук. Без интуиции молодой ум не сможет продвинуться в понимании математики, он не сможет полюбить её и найдёт в ней лишь пустой набор логических упражнений, и прежде всего без интуиции он никогда не сможет применять математику.

Истинные математические науки, то есть те, которые чему-нибудь служат, могут продолжать своё развитие только согласно свойственным им принципам, не заботясь о тех бурях, которые бушуют вне их; они будут шаг за шагом делать свои завоевания, которые являются окончательными и от которых им никогда не будет нужды отказываться.

Нужно было бы окончательно забыть историю науки, чтобы не помнить, что стремление познать природу имело самое постоянное и самое счастливое влияние на развитие математики… Если бы чистый математик забыл о существовании внешнего мира, то он уподобился бы художнику, который умеет гармонически сочетать краски, но у которого нет моделей.

Его творческая сила скоро иссякла бы. Чистый математик, который забыл бы о существовании внешнего мира, был бы подобен живописцу, умеющему гармонически сочетать цвета и формы, но лишённому натуры, модели — его творческая сила быстро бы иссякла. В её строго логической форме математическая дисциплина принимает столь искусственный характер, что ставит в тупик любого. Забываются исторические истоки, мы видим, как вопросы могут быть разрешены, но перестаём понимать, как и почему они были поставлены.

Не существует решённых проблем, существуют только проблемы более или менее решённые. Математики не уничтожают препятствия, мешающие им, но просто отодвигают их за грани своей науки.

Жизнь украшается двумя вещами: Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии. И вследствие того написал свои философические мысли. Ганс Радемахер, Отто Теплиц. За своеобразной символикой формул, за интегралами и сигмами, словно за высокой стеной, уединилась математика от окружающего мира.

Тому же, кто остается за стеной, она отчасти закрывает горизонт, мешает взглянуть на внешний мир, он увлекается возможностью оценивать математические факты собственными мерками и находит тщеславное утешение в том, что в его владения не попадает профан.

Конечно, математическим талантом в собственном смысле этого слова, то есть способностью самостоятельно открывать новые математические истины, наделены далеко не все.

Но, например, музыкальный талант, то есть способность создавать музыкальные произведения достаточно высокого уровня, тоже имеют не все. Истинная математика заключается не в нагромождении искусственных вычислительных приёмов, а в умении получать нетривиальные результаты путём размышления при минимуме применяемого аппарата. Чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим. Математика представляет собой собрание выводов, которые могут быть применены к чему угодно.

Чтобы создать здоровую философию, нужно отречься от метафизики, но быть хорошим математиком. Математика, правильно понятая, обладает не только истиной, но также величайшей красотой, какой обладает искусство ваяния. Во всех делах очень полезно периодически ставить знак вопроса к тому, что вы с давних пор считали не требующим доказательств. Всякая точная наука основывается на приблизительности.

Нежелательно верить в гипотезу, когда нет решительно никаких оснований считать ее верной. Тот факт, что вся математика есть не что иное, как символическая логика, — величайшее открытие нашего века.

Метод постулирования того, что нам требуется, обладает многими преимуществами, но такими же преимуществами обладает воровство перед честным трудом. Математика служит вечным укором… скептицизму, ибо её здание, возведённое из истины, противостоит неколебимо и неприступно всему оружию сомневающегося цинизма.

Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. Математика — музыка разума. Математика и физика должны быть вместе, как карета и лошадь в упряжке.

Генри Джон Стивен Смит. Арифметика — одна из древнейших, возможно, самая древняя отрасль человеческого знания, и в то же время наиболее глубокие тайны находятся где-то рядом с её избитыми истинами. Геометрия обратилась бы в ничто, если бы не её строгость. Математика — царица всех наук. Её возлюбленный — истина, её наряд — простота и ясность. Дворец этой владычицы окружен тернистыми зарослями, и, чтобы достичь его, каждому охотнику приходится пробираться сквозь чащу. Случайный путник не обнаружит во дворце ничего привлекательного.

Красота его открывается лишь разуму, любящему истину, закаленному в борьбе с трудностями, свидетельствующему о незаурядности и непреодолимой склонности человека к необычайно запутанным, но неиссякаемым и возвышенным наслаждениям ума, свойственным самой природе людей. Вся история точных наук — это почти история математики: И радость творчества, и источник сил найдут для себя в царстве математики все, кто будет строить её здание.

Стоит только показать, что какая-либо вещь невозможна, как найдется математик, который ее сделает. Смелость разума присуща всем математикам. Математик не любит, когда ему о чем-то рассказывают, — до всего он хочет додуматься сам. Математика и опыт — вот подлинные основания достоверного, естественного, разумного живого познания.

Математика может открыть определенную последовательность даже в хаосе. Среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью Математика — наиболее точная наука, и её выводы абсолютно доказуемы. Но это происходит лишь потому, что математика не пытается выводить абсолютные заключения.

Все математические истины относительны, условны. При помощи логики никто ничего не открывает; силлогизм может только приводить других к признанию той или другой, уже заранее известной истины, но как орудие изобретения бессилен. Математик иногда наперёд высказывает весьма сложное положение, совершенно не очевидное и затем начинает доказывать его. В изобретении чуть ли не каждого шага доказательства играет роль не логика, а интуиция, которая идёт поверх всякой логики.

Хотя в нашей концепции математики и в наших взглядах на нее по сравнению с началом XX в. Математика, как мы сейчас понимаем, не имеет ни одной обязательной связи с физическим миром, помимо той смутной и несколько загадочной, что неявно содержится в утверждении о том, что процесс мышления происходит в мозгу. Современная математика предпочитает характеризовать свой предмет как изучение общих абстрактных систем, каждая из которых построена из специфических абстрактных элементов и структурирована наличием произвольных, но недвусмысленных специализированных связей между ними.

Лишь в той степени, в какой математика освободилась от уз, связывающих ее в прошлом с теми или иными конкретными аспектами реальности, она может стать гибким и мощным инструментом, столь необходимым для вторжения в области, лежащие за пределами известного.

Математика — гимнастика ума. Умственный труд на уроках математики — пробный камень мышления. Математика, раньше понимаемая как наука о числах и геометрических фигурах, теперь ломает рамки любых дефиниций, которые определяют сферу ее исследований.

До сих пор не удалось найти такое определение, которое характеризовало бы математику в целом и удовлетворяло хотя бы одних только математиков.

Математическую мысль породила потребность разума построить модель окружающего мира. Я не мог понять содержания вашей статьи, так как она не была оживлена иксами и игреками. Одна-единственная кривая, вычерченная наподобие кривой цен на хлопок, описывает всё то, что едва может услышать ухо в результате исполнения сложнейшего музыкального произведения Это, по-моему, является прекрасным доказательством могущества математики.

Математика есть просто хорошая метафизика. Чистая математика в своём современном развитии может претендовать на положение наиболее оригинального творения человеческого духа. Я сожалею, что в этой лекции мне необходимо было в такой большой мере обращаться к четырёхмерной геометрии. Но я не прошу извинения, ибо я действительно не ответственен за то, что в своём фундаментальном аспекте природа четырёхмерна.

Вещи таковы, какие они есть Имеется надёжное для применения правило: Идеал математики — создать вычисление, облегчающее рассуждения в любой сфере мышления. Нельзя не признать, что занятия математикой — ниспосланное богами безумие человеческого духа.

Фундаментальное исследование — это то, что делаешь, когда не знаешь, что собираешься сделать. У инопланетян могут быть другие представления о понятии бесконечности, теореме Гёделя, времени и счёте.

В математике нет авторитетов. Единственный аргумент истинности — доказательство. Математика не допускает лжи. Она требует, чтобы утверждения не просто провозглашались, но и доказывались. Она учит задавать вопросы и не бояться непонимания ответов.

Она по природе демократична: Их непреложность не зависит от того, кто их провозглашает, академик или школьник. Опыт развития математики убеждает, что самые, казалось бы, оторванные от практики её разделы рано или поздно находят важные применения.

Математика — вне зависимости от её практического использования — принадлежит духовной культуре. Неправда, что так называемая "абстрактная математика" так сложна. Математика является одним из открытий человечества. Поэтому она не может быть более сложной, чем то, что люди способны понять. Если бы ни число и его природа, ничто существующее нельзя было бы постичь ни само по себе, ни в его отношении к другим вещам Мощь чисел проявляется, как нетрудно заметить Прикладная математика — это когда вы ищите решение задачи, а чистая — это когда вы ищите задачу для решения.

Бернар Ле Бовье де Фонтенель. Математики похожи на влюбленных — достаточно согласиться с простейшим утверждением математика, как он выведет следствие, с которым вновь придется согласиться, а из этого следствия - еще одно. Какая наука может быть более благородна, более восхитительна, более полезна для человечества, чем математика? Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом. Геометрия — это широкий роскошный пейзаж, открытый всем тем, кому мышление доставляет настоящую радость.

Жан Батист Жозеф Фурье. Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики. Глубокое изучение природы — наиболее плодотворный источник математических открытий. Не может быть языка более всеобъемлющего, чем аналитические уравнения, и более простого, лишённого ошибок и неясностей, то есть более достойного для выражения неизменных соотношений реального мира. Главная отличительная особенность математического подхода — его ясность; в нём нет символов, которые выражали бы смутные идеи.

Он сводит вместе самые различные явления и обнаруживает объединяющие их скрытые аналогии. Принципы геометрии — это принципы всей математики. Человек, не способный к математике, не является разумным.

Этого недочеловека в лучшем случае можно терпеть, раз он научился носить ботинки, мыться и не сорить в доме. Математика похожа на мельницу: Да не найдёт она никаких приложений! В понятие чистой математики я включаю всю совокупность математических знаний, обладающих непреходящей эстетической ценностью, какой обладает, например, греческая математика, которая вечна потому, что лучшая её часть, подобно лучшим произведениям литературы, и через тысячи лет продолжает приносить тысячам людей эмоциональное удовлетворение.

Строго говоря, того, что принято называть математическим доказательством, не существует В конечном счете, мы можем лишь указывать Любое доказательство представляет собой то, что мы с Литлвудом называем газом , — риторические завитушки, предназначенные для психологического воздействия, картинки, рисуемые на доске во время лекции, средство для стимуляции воображения учащихся.

Свою позицию я сформулирую догматически во избежание малейшей неясности. Математические теоремы истинны или ложны, и их истинность или ложность абсолютно не зависит от того, известны ли нам эти теоремы. В некотором смысле математическая истина является частью объективной реальности. Архимеда будут помнить, когда Эсхила забудут, потому что языки умирают, но не математические идеи.

Возможно, "бессмертие" — глупое слово, но, по всей видимости, математик имеет наилучший шанс на бессмертие, что бы оно ни означало. Творчество математика в такой же степени есть создание прекрасного, как творчество живописца или поэта, — совокупность идей, подобно совокупности красок или слов, должна обладать внутренней гармонией. Красота есть первый пробный камень для математической идеи; в мире нет места уродливой математике. Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг.

Своей жизнеспособностью математика в большой мере обязана своей многогранности. Аксиома — это истина, на которую не хватило доказательств. Логике нетрудно быть терпеливой, ведь она вечна. Логика непобедима, потому что одолеть её можно только с помощью логики. Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах.

Эта красота мысли чувствуется начиная со школьных задач и кончая самыми современными достижениями науки. Если вы составите список стран, где хорошая математика как наука , и составите список стран, где люди богато живут, то эти два списка почти что совпадут.

Не потому, что мы твердо знаем, что таким-то образом из математики вытекает экономика или наоборот, а просто потому, что есть такой закон природы — хотите иметь одно, надо обязательно иметь другое. То же верно и про науку в целом. Когда Господь создавал Вселенную, то он ее создал так, что математика является одной из ее частей.

Точно так же как существуют определенные взаимодействия звезд между собой и космическими лучами, точно так же существует взаимодействие между физикой и математикой, практической жизнью и математикой.

И эти взаимодействия достаточно глубокие, многие из них мы не знаем. Человек, который имеет дело с математической сущностью, в какой-то момент перестает сомневаться, что это вполне реально и объективно существующая сущность, в том, что мы их не придумываем, а открываем. Про роль математики для общества я сказал бы несколько необычную вещь. Конечно, надо знать математику, чтобы посчитать деньги в своем кармане и особенно в чужом и чтобы спроектировать какую-нибудь машину.

Но это — мир низких истин. Есть и другая сторона. Вот то, чему я бы учил в школе, и для чего математика максимально приспособлена, но только ее преподавать нужно немножко не так. Это — отличать верное от неверного, доказанное от недоказанного, правдоподобное от неправдоподобного Это — часть математической культуры, которой существенно не хватает обществу в целом.

Если бы в математике не было красоты, то, наверное, не было бы и самой математики. Иначе какая тогда сила притягивала бы к этой нелегкой науке крупнейших гениев человечества? Математика является прекрасным, увлекательным предметом, полным воображения, фантазии и творчества, которое ограничивается не мелочами физического мира, а лишь силой нашего внутреннего света.

Полет — это математика. Окружность — душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою. Математика — самая надежная форма пророчества. И, очень полюбив искусство числовое, я подумал, что без числа никакое рассуждение философское нельзя вывести, и его следует считать матерью всей мудрости.

Доказательство — это рассуждение, которое убеждает. Из дома реальности легко забрести в лес математики, но лишь немногие способны вернуться обратно. Между духом и материей посредничает математика. Легкость математики основана на возможности чисто логического ее построения, трудность, отпугивающая многих, — на невозможности иного изложения. Известный польский математик шутливо утверждал, что существует закон, который формулируется так: А именно, если поручить двум людям, один из которых математик, выполнение любой незнакомой им работы, то результат всегда будет следующим: Ни одна наука так не укрепляет веру в силу человеческого разума, как математика.

Я не верю, что какие—либо новые дидактические приёмы могут радикально увеличить долю понимающих математику в школе. Подводя итоги экспериментам педагогов, мы оказываемся перед дилеммой: И из этих нескольких зёрен позже вырастут Паскаль, Гаусс и Больяи.

В математике несравненно явственней, чем в других дисциплинах ощущается, насколько растянуто шествие всего человечества. Введение в философию и методологию науки - Ушаков Е.

Том 2 - Гегель Г. Русская философия энциклопедия - Коллектив авторов Русская мысль в век Просвещения - Коллектив авторов Философия России 18 века - Шкуринов П. Очерки русской утопической мысли XX века - Гальцева Р. Анархия - Кропоткин П. Библейские ветхозаветные факты - Протопопов В. Метафизика Севера - Теребихин Н. Положение об основании - Хайдеггер Мартин Философия как история философии - Ойзерман Т. Античный город - Елизаров Е.

Слово о слове - Елизаров Е. Перечитывая Библию - Елизаров Е. О ничтожестве и горестях жизни - Шопенгауэр Артур Хрестоматия по философии. Словарь разума, материи и морали - Рассел Бертран Такая добровольная каторга - Любищев А.

Философия жизни - Мартынов А. Хлеб и Воля - Кропоткин П. Огненная Русь - Макаров Н. Религиоведение - Аринин Е. Психология религии - Аринин Е. Принципы сущностного анализа - Аринин Е. Сверхчеловек говорит по-русски - Калашников Максим Манифест Коммунистической партии - Маркс Карл Философская суицидология. Курс лекций - Аванесов С. Учебное пособие для студентов вузов - Харин Ю.

Страна философия - Золотухина-Аболина Е. Том 1 - Соколов В. Том 2 - Соколов В. Том 3 - Нарский И. Том 4 - Мамедов Ш. Философские вопросы научных представлений о пространстве и времени - Головко Н.

Философия - Грачев В. Философия - Титов В. История русской философии - Зеньковский В. Пираты Эгейского моря и личность - Петров М. Этика Фихте - Вышеславцев Б. Новый диалог человека с природой - Пригожин И.

Философия Давида Юма - Нарский И. Джордж Беркли - Быховский Б. Проблема реальности у Беркли - Блонский П. Фактор понимания - Зиновьев А. Том 1 - Фейербах Л. Том 2 - Фейербах Л. Идеология партии будущего - Зиновьев А. Афинская полития - Аристотель Этика. Учебное пособие - Балашов Л. Сорокин за 90 минут - Медведько Юрий Воля к истине - по ту сторону знания, власти и сексуальности - Фуко Мишель Надзирать и наказывать.

Краткий курс - Орлов С. Сочинения - Плутарх Сравнительные жизнеописания - Плутарх Философия языка в России. К истории русской лингвофилософии - Безлепкин Н. Книга 2 - Миронов А. Основы философии - Канке В.

Рубинштейна - Абульханова К. Общество потребления - Бодрийяр Жан Философия скуки - Свендсен Ларс 50 золотых идей в философии - Огарев Георгий Философия истории - Карсавин Л. Культура Средних веков - Карсавин Л. Философия Политики - Дугин А. Абсолютная Родина - Дугин А.

Философия и методология науки. Учебник для высших учебных заведений - Кохановский В. Основы философии - Кохановский В. Краткий философский словарь предрассудков - Бохеньский Юзеф МЖ: Мужчины и женщины - Парамонов Б. Философские этюды - Мартынов А. Бенедикт Спиноза - Фишер Куно Философия человека. Часть 2 - Гуревич П. Философско-психологический анализ - Дубровский Д.

Судьбы классического наследия - Исупов К. Конфуций за 30 минут - Маслов А. Структурный подход в проблеме человека и общества - Чебунин А. Философия - Кальной И. Философия истории - Кальной И. Сборник книг - Сартр Жан-Поль О пользе и вреде истории для жизни - Ницше Фридрих Давид Штраус, исповедник и писатель - Ницше Фридрих Феноменология внутреннего сознания времени - Гуссерль Эдмунд Воображаемое. Феноменологическая психология воображения - Сартр Жан-Поль Сократ и афинская демократия - Зберовский А.

Том 1 - Гоббс Томас Сочинения. Сочинения в двух томах. Воображение и теория познания - Бородай Ю. Фигура философа - Дьяков А. Бог и материя в диалогах Платона - Бородай Т. История философии - Васильев В. Рождение клиники - Фуко Мишель Рождение трагедии, или Эллинство и пессимизм - Ницше Фридрих Несвоевременные размышления - Ницше Фридрих Утренняя заря, или мысль о моральных предрассудках - Ницше Фридрих Путь нации.

Этюды национального оптимизма - Г. Модальные теории Яна Лукасевича - Ивин А. Философия традиционализма - Дугин А. Хаос и структура - Лосев А. Кризис сознания - Коллектив авторов Глобальный кризис института власти - Колмаков В. Правовая ментальность эффективного государства - Колмаков В. Дело астронома Асурамая - Саром Е. Из истории советской философии.

Лукач-Выготский-Ильенков - Мареев С. Политическая экономия творчества - Елизаров Е. Безумие и успех в культуре - Руднев В.

Учение о перевоплощении - Лосский Н. Новая метафизика - Балашов Л. Синергетические основания в системе философский знаний - Вознюк А. Интеграция науки и религии - Вознюк А.

Философские основы новой парадигмы образования - Вознюк А. Универсальная парадигма развития - Вознюк А. Философские заметки относительно фундаментальных аспектов бытия - Вознюк А. Как возможно бытие - Вознюк А. Сергей Леонидович Рубинштейн - Абульханова К. Скрытая традиция - Арендт Ханна Шпаргалка по философии: Хрестоматия по философии - Абдуллин А. Учебное пособие для аспирантов - Войтов А. Философия науки - Мареев С. Философия науки - Лебедев С. Курс лекций - Лешкевич Т. Социальная философия - Гобозов И.

Тайны мироздания в современной науке и религии - Воронин С. Эзотерические традиции - Новикова Т. Мой взгляд на мир - Шредингер Эрвин История философии. Древняя Греция и Древний Рим. Том 1 - Коплстон Фредерик История философии. Том 2 - Коплстон Фредерик Философия религии: Видение невидения - Друскин Я. Собрание сочинений - Кант Иммануил Эмпиризм и субъективность - Делез Жиль Различие и повторение - Делез Жиль Диалектика абстрактного и конкретного в научно-теоретическом мышлении - Ильенков Э.

Стратегии радикального мышления - Дьяков А. Философия пост-структурализма во Франции - Дьяков А. Жан Бодрийяр - Грицанов А. Лекции по истории философии.

Книга 1 - Гегель Г. В четырех томах - Гегель Г. Управляемый хаос - Верещагин И. Об идолах и идеалах - Ильенков Э. Грамматика разума - Труфанов С. Классическое учение Вильгельма Гегеля о человеке - Труфанов С. Научные статьи - Труфанов С. Что такое жизнь с точки зрения физики? Самое само - Лосев А. Мое мировоззрение - Амосов Н. Искусственный разум - Амосов Н. Об агрессивной сущности современной цивилизации - Вознюк А.

Введение в философское богословие - Моррис Томас Складка. Лейбниц и барокко - Делез Жиль Проблема человека в западной философии - Коллектив авторов Социальная мифология - Гуревич П. Новые образы познания и реальности - Микешина Л. Эпистемология ценностей - Микешина Л. Постмодернистский прагматизм Ричарда Рорти - Юлина Н. О миросозерцании Серена Киркегора - Гайденко Пиама Античная и средневековая философия - Татаркевич Владислав Открытое общество и его враги. Бог и мировое зло - Лосский Н.

Основные аспекты концепции универсальной модели бытия - Вознюк А. Метафизика точных наук, синергетика - Верещагин И. Вивекананда - Костюченко В.

Классическая веданта и неоведантизм - Костюченко В. Социальная философия - Соколов С. Педагогическая синергетика - Вознюк А. Речь о достоинстве и превосходстве женского пола - Корнелиус Генрих Конфликт интерпретаций - Поль Рикер Память, история, забвение - Поль Рикер Время и рассказ. Интрига и исторический рассказ - Поль Рикер Время и рассказ. Конфигурации в вымышленном рассказе - Поль Рикер Путь признания - Поль Рикер Разговор на проселочной дороге - Хайдеггер Мартин Сборник книг - Хайдеггер Мартин Феноменологическое познание.

Пропедевтика и критика - Свасьян К. Гете - Свасьян К. Проблема символа в современной философии - Свасьян К. Материалы по истории индийской философии - Пятигорский А. Древний Человек в Городе - Пятигорский А. Введение в изучение буддийской философии - Пятигорский А. Сборник книг - Ницше Фридрих Мартин Хайдеггер.

Возможность русской философии - Дугин А. Том I - Евлампиев И. Том 1 - Евлампиев И. Том 2 - Евлампиев И. История и философия химии - Канке В. Эссе об отвращении - Кристева Юлия Избранные труды. Сборник книг - Дугин А. Ребенок в мире Эроса - Жаров Л. Душа - Верещагин И. Бахтин, слово, диалог и роман - Кристева Юлия Телесное и духовное - Верещагин И. Сочинения - Шпет Г.

Взаимопомощь как фактор эволюции - Кропоткин П. Новым подход к пониманию человеческой личности - Вознюк А.

Трансцендентально-кинетическая теорiя времени - Аксенов М. Трагедия человеческого сознания - Бородай Ю. Книга 2 - Гегель Г. Книга 3 - Гегель Г. Том 2 - Соловьев В. Соловьев - Лосев А. Традиция Гелуг - Кляйн Анна Я. Философия и психология свободы - Юрченко С. Сочинения - Федоров Н. Философия культуры - Зиммель Георг Георг Зиммель.

Созерцание жизни - Зиммель Георг Георг Зиммель. Утопия и свобода - Чаликова В. Субъективное и объективное в обществе - Тимошин Н. Философия - Тимошин Н. Материя и сознание - Тимошин Н.

Что такое материя и каково ее строение - Уемов А. Эстетика отцов церкви - Бычков В. О повторяемости в процессе развития - Кедров Б. Сочинения в 2-х томах. Том 1 - Ницше Фридрих Сочинения в 2-х томах. Том 2 - Ницше Фридрих Аллегории чтения. Размышления о настоящем и будущем России и мира - Коллектив авторов Размышления о всемирной истории - Буркхардт Якоб Философия.

Философское ориентирование в мире - Ясперс Карл Философия. Просветление экзистенции - Ясперс Карл Философия. Выпуск 1,2 - Ясперс Карл Философия мифологии. Том 1,2 - Шеллинг Фридрих Система мировых эпох - Шеллинг Фридрих Лекции о методе университетского образования - Шеллинг Фридрих Сознающий ум. В поисках фундаментальной теории - Чалмерс Дэвид Жиль Делез.

Философия различия - Дьяков А. Введение в неклассическую философию - Гаспарян Д. История социальной философии - Гаспарян Д. Воззрение на мир и исследование человека - Дильтей Вильгельм Построение исторического мира в науках о духе - Дильтей Вильгельм Герменевтика и теория литературы - Дильтей Вильгельм Сущность философии - Дильтей Вильгельм Спектакль как высшая стадия товарного фетишизма - Бенсаид Даниэль Цивилизация и варварство в эпоху глобальных кризисов - Мотрошилова Н.

Философия древности и средневековья. Книга 1 - Мотрошилова Н. Книга 2 - Мотрошилова Н. Книга 3 - Мотрошилова Н. Книга 4 - Мотрошилова Н. Сергей Сергеевич Аверинцев - Бибихин В. Смена аспекта - Бибихин В. Внутренняя форма слова - Бибихин В. Другое начало - Бибихин В. Лес hyle - Бибихин В. Узнай себя - Бибихин В.

Язык философии - Бибихин В. Российская империя против российского хаоса - Кантор В. Крушение кумиров, или Одоление соблазнов - Кантор В. Моя тайна, или Книга бесед о презрении к миру - Петрарка Франческо Двойная спираль истории - Кантор К. Выход из транса - Померанц Г. Философские проблемы космологии - Базалук О. Философия образования в свете новой космологической концепции - Базалук О. Женщина для вдохновения - Базалук О. Присутствие и трансцендентальное предчувствие - Карпицкий Н.

Становление смысла и становление личности - Карпицкий Н. Искусство как вид знания. Избранные труды по философии культуры - Шпет Г. В поисках смысла жизни - Рижский М. Диалектика абстрактного и конкретного в Капитале Маркса - Ильенков Э. Между философией и психиатрией - Власова О. Шеллинг - Гулыга А. Русская идея и ее творцы - Гулыга А. Аристотель - Лосев А. Евдемова этика - Аристотель Философия и культура - Ильенков Э.

Вопрос о тождестве мышления и бытия в домарксистской философии - Ильенков Э. Диалог с Эвальдом Ильенковым проблема идеального - Лифшиц М. Эвальд Васильевич Ильенков - Толстых В.

Сократ и Мы - Толстых В. Сборник статей - Коллектив авторов Теория познания - Этэрнус Избранные произведения - Вебер Макс Социокультурные факторы хозяйственного развития - Зарубина Н. Том 2 - Базалук О. Этюды исследования - Розин В. Том 1 - Флоренский Павел У водоразделов мысли. Том 2 - Флоренский Павел Великая гендерная эволюция: Стабильная адаптивная стратегия Homo sapiens - Чешко В. Гиперсимметрия - Верещагин И. Шансы - Ясперс Карл Когнитивизм как парадигма гуманитарно-философской мысли - Максимов Л.

Учебное пособие - Карпицкий Н. Сущность философии и специфика философского знания. Винни Пух и философия обыденного языка - Руднев В. Философия языка и семиотика безумия. Избранные работы - Руднев В. Тотальность и бесконечное - Левинас Эмманюэль Избранное. Трудная свобода - Левинас Эмманюэль Время и другой. Гуманизм другого человека - Левинас Эмманюэль Взаимная помощь среди животных и людей как двигатель прогресса - Кропоткин П.

Речи бунтовщика - Кропоткин П. Трудная проблема сознания - Васильев В. История новоевропейской философии - Васильев В. Подвалы кантовской метафизики дедукция категорий - Васильев В.

Шопенгауэр - Быховский Б. Гассенди - Быховский Б. Кьеркегор - Быховский Б. Людвиг Фейербах - Быховский Б. Сигер Брабантский - Быховский Б. Налимов - Золотухина-Аболина Е. Суждения в русле эволюционной парадигмы - Болдачев А. Курс лекций по этике - Золотухина-Аболина Е. Цивилизация Мадонны - Иванов А. Психология войны в XX в. Исторический опыт России - Сенявская Е. Фронтовое поколение - Сенявская Е. Книга - Богат Е. Город - Вебер Макс Избранное.

Том 1 - Спекторский Е. Проблема социальной физики в XVII столетии. Том 2 - Спекторский Е. Самосознание России - Замалеев А. Фонвизин - Замалеев А. Человек в лабиринте идентичностей - Свасьян К. Два некролога - Свасьян К. Ницше или Как становятся Богом. Две вариации на одну судьбу - Свасьян К. Но еще ночь - Свасьян К. Философия символических форм Э. Критический анализ - Свасьян К. Выражение и смысл - Подорога В. Феноменология тела - Подорога В.

Опыт и чувственное в культуре современности - Подорога В. Ключ Введение - Фролов М. Часть 1 - Шпет Г. Очерк развития русской философии. Часть 2 - Шпет Г. Новая теория развития общества без ошибок Маркса и Ленина - Мягких Ю. Смех - Столович Л. Виражи российской интеллигенции - Тимошин Н. Моя эпоха - Тимошин Н. Картезианские медитации - Гуссерль Эдмунд Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии - Гуссерль Эдмунд Начало геометрии.

Становление и развитие - Власова О. Жорж Батай - Фокин С. Жизнь - Фокин С. Этюды о Бодлере - Фокин С. Проблемы эмпирического анализа научных знаний - Розов М. Миссия университета - Ортега-и-Гассет Хосе Сочинения. Том 1 - Фихте Иоганн Сочинения в 2-х томах. Диалектика Канта - Асмус В. Декарт - Асмус В. Маркс и буржуазный историзм - Асмус В. Историко-философские этюды - Асмус В. Пролегомены - Байков Э.

Молодой Ясперс - Перцев А. Странная философия ненасилия - Перцев А. Критика цинического разума - Слотердайк Петер Сферы.

Пузыри - Слотердайк Петер Сферы. Глобусы - Слотердайк Петер Сферы. Пена - Слотердайк Петер Физиология наслаждений - Мантегацца Паоло Диалектика рефлексивной деятельности и научное познание - Батищев Г.

Противоречие как категория диалектической логики - Батищев Г. Проблема человека в Экономических рукописях годов К. Маркса - Батищев Г. Генрих Степанович Батищев - Лекторский В. История философии в схемах и комментариях - Светлов В. Философия математики - Светлов В. Неофрейдизм в поисках истины - Добреньков В. Буржуазная идеология и массовое сознание - Гуревич П. Философская антропология - Гуревич П. В поисках духовной опоры - Гуревич П. Том 1 - Шопенгауэр Артур Собрание сочинений в шести томах.

Том 2 - Шопенгауэр Артур Собрание сочинений в шести томах. Том 4 - Шопенгауэр Артур Собрание сочинений в шести томах.

Том 5 - Шопенгауэр Артур Собрание сочинений в шести томах. Избранные статьи - Ильин И. Том 1 - Ильин И. Том 2 - Ильин И. Собрание сочинений в 10 томах. Том 4 - Ильин И. Том 5 - Ильин И. Том 7 - Ильин И. Различие между системами философии Фихте и Шеллинга - Гегель Г. Ранние философские сочинения - Шеллинг Фридрих Идеи к философии природы как введение в изучение этой науки - Шеллинг Фридрих Гранит науки и песок цивилизации. Вопросы религиозного самопознания - Флоренский Павел О предмете психологии - Авенариус Рихард Философия как мышление о мире сообразно принципу наименьшей меры сил - Авенариус Рихард Опыт физической метафизики - Мамардашвили М.

Гранит науки и песок цивилизации. Социальная теория и социальная практика - Власова О. История западного мышления - Тарнас Ричард Моралии. Сочинения - Плутарх Сочинения - Плутарх Философия техники: Иное понимание онтологии даёт американский философ Уиллард Куайн: Важнейший вклад в разработку онтологической проблематики внесли Платон и Аристотель.

В средневековой философии центральное место занимала онтологическая проблема существования абстрактных объектов универсалий. Особый интерес в современной философии вызывают онтологические проблемы сознания. Карл Поппер сформулировал концепцию трёх миров: В информационных технологиях и компьютерных науках под онтологией подразумевается явное описание множества объектов и связей между ними концептуализация:

About the Author: Валерий